3.1. Дополнительная информация. Физика

Кинематика изучает движение. В кинематике мы имеем дело с положением тела или частицы, скоростью и ускорением, но не интересуемся ни природой движущихся тел или частиц, ни силами, вызывающими ускорение.

При движении с постоянной скоростью v

s=vt,

где s – расстояние, пройденное за время t; отсюда значение скорости определяется как

Теперь рассмотрим движение тела со скоростью, которая меняется по величине, но не по направлению (это поступательное движение). Тогда на небольших участках As, которые тело проходит за время At, значения мгновенной скорости определяются как

или более строго:

Это соотношение означает, что мгновенная скорость v есть предел отношения As/At при At, стремящемся к нулю (строгое математическое определение значения мгновенной скорости).

Если тело движется на отрезке пути s₁ в течение времени t₁ с одной скоростью, а на отрезке пути s₂ в течение времени t₂ с другой скоростью, то средняя скорость v на всем пути:

Постоянное ускорение определяется как

где v – v₀ – приращение скорости за время t.

Мгновенное ускорение:

Путь при равноускоренном движении:

где v₀ – скорость тела в начальный момент времени.

На практике нужно знать не только значение, но и направление скорости в пространстве, например, чтобы описать движение (траекторию) автомобиля, самолета или космического корабля. Любая физическая величина, которая не будет полностью определена, если задать только ее значение и не указать, в какую сторону она направлена, является вектором.

Скорость – это вектор. Если разложить вектор скорости v при движении тела в пространстве по осям декартовой системы координат, то мы получим ее составляющие v_x, v, v_z. Они связаны с полной скоростью v соотношением

Следует отметить, что векторную природу имеет ускорение a, а также многие величины, которые мы будем использовать в дальнейшем изложении: сила F, импульс p и другие. Во всех случаях векторные величины отмечаются стрелкой «->», помещенной над буквенным обозначением величины. Значение самой величины (ее абсолютная величина) обозначается просто буквой, например, a – значение ускорения.

Рассмотрим равномерное движение тела по окружности со скоростью v. При этом его ускорение, оставаясь перпендикулярным скорости в любой момент времени, направлено к центру окружности. Можно показать, что значение ускорения тела a_c, которое в данном случае называется центростремительным, определяется по формуле

где R – радиус окружности. Следует отметить, что центростремительное ускорение меняет только направление вектора скорости, не влияя на его величину; ускорение a_c направлено по радиусу окружности к ее центру.

Пример. Определение первой космической скорости.

Любое тело, движущееся по круговой орбите вокруг Земли, должно иметь ускорение a_c = v²/R, направленное к центру нашей планеты.

Поскольку на тело в этом случае действует только сила земного притяжения (т. е. сила тяжести), то можно записать

где g_c – ускорение свободного падения – 9,8 м/с².

Тогда v_c = qR.

Если считать, что R? 6500 км (расстояние до центра Земли), то вычисление первой космической скорости дает значение v_c=8 км/c. Если разделить длину орбиты на скорость спутника, то получим время одного оборота спутника вокруг Земли. Длина орбиты низколетящего спутника близка к длине экватора Земли t = 40 000 км/8 км/c = 5000 c = 83 мин

Для того чтобы вывести ракету за пределы действия земного притяжения, т. е. направить ее к другим планетам, необходимо сообщить ей начальную скорость 11,2 км/с, которая носит название второй космической скорости.

Впервые эти расчеты провел Исаак Ньютон еще примерно в 1660 г.

Динамика занимается изучением общих законов взаимодействия материальных тел. Широкий класс явлений удается описать или объяснить на основе законов движения И. Ньютона.

Первый закон Ньютона

Будучи предоставлено самому себе (при отсутствии результирующей внешней силы), тело сохраняет состояние покоя или равномерного движения с равным нулю ускорением.

В математической форме это утверждение имеет вид: a = 0, если F = 0 (F – результирующая внешняя сила).

Второй закон Ньютона

Действующая на тело результирующая сила равна произведению массы тела на его ускорение:

Третий закон Ньютона

При любом взаимодействии двух тел сила, с которой первое тело воздействует на второе, равна по величине и направлена противоположно силе, с которой второе тело воздействует на первое:

Все три закона движения справедливы только при условии, что наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета. Определение Ньютона для инерциальной системы отсчета: это любая система, которая покоится или движется равномерно и прямолинейно по отношению к неподвижным звездам.

Определение: импульсом (количеством движения) тела p называется произведение массы тела на его скорость:

Закон сохранения импульса

В отсутствие внешних сил сумма импульсов системы частиц (тел) остается неизменной.

При столкновении двух частиц, имеющих массы m_A и m_B, закон сохранения импульса записывается так:

или

где v_A и v_B – скорости частиц до соударения, а v'_A и v'_B – их скорости после соударения.

Другой вариант: две частицы первоначально покоятся, т. е. v_A = v_B = 0. Затем между ними происходит взаимодействие (например, из одной частицы выскакивает упругая пружина и расталкивает частицы). Закон сохранения импульса показывает, что после взаимодействия мы должны получить

где знак «минус» означает, что векторы параллельны, но направлены в противоположные стороны. Отсюда следует, что

где v'_A и v_B – абсолютные величины векторов скорости после взаимодействия.

Тогда любую неизвестную массу m_B можно найти, приведя ее во взаимодействие с известной массой m_A с помощью пружины, находящейся между ними, и измеряя отношение скоростей после взаимодействия. Масса частицы (тела), определенная таким образом, называется инертной массой. Закон сохранения импульса позволяет определить инертную массу тела.

Закон всемирного тяготения

Ньютоновский закон всемирного тяготения для силы, действующей между двумя телами с массами m₁ и m₂, записывается следующим образом:

где r—расстояние между телами, G = 6,67 ? 10^-11 Н ? м²/кг² – гравитационная постоянная (1 Н = 1 ньютон – это величина силы, с которой Земля притягивает тело массой 0,1 кг, находящееся на ее поверхности).

Гравитационная постоянная является мировой константой, ее определение возможно при проведении прямых лабораторных опытов по измерению силы гравитационного притяжения двух известных масс. Впервые опыт по определению G был поставлен Г. Кавендишем в 1797 г. Зная величину G, можно определить массу Земли, массы других планет Солнечной системы, массу Солнца. Для определения массы Солнца необходимо знать расстояние от Земли до Солнца и время, за которое Земля совершает один оборот вокруг Солнца.

Следствия закона всемирного тяготения

Еще до того как Ньютон постулировал закон всемирного тяготения, И. Кеплер, анализируя движения планет Солнечной системы, предложил три простых закона, очень точно описывающих эти движения не только для всех планет, но и для их спутников.

Первый закон Кеплера

Все планеты обращаются по эллиптическим орбитам, в фокусе которых находится Солнце.

Эллипс обладает несколькими характерными геометрическими свойствами. Это замкнутая кривая линия, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек (фокусов) остается постоянной. Другое свойство: луч света или звуковая волна (прямые лучи), вышедшие из одного фокуса эллипса, обязательно попадают в результате отражения во второй фокус. На этом принципе основано устройство «шепчущей галереи», какую иногда можно обнаружить в музеях – у такой галереи стены имеют форму эллипса. Два человека, стоящих в различных фокусах, расположенных даже на большом расстоянии, могут свободно разговаривать друг с другом шепотом, причем остальные посетители не услышат ни одного слова.

Второй закон Кеплера

Прямая, соединяющая Солнце и какую-либо планету, при вращении планеты вокруг Солнца за равные промежутки времени описывает одинаковую площадь.

Из этого закона следует, что когда планета ближе всего проходит около Солнца (для Земли это происходит в начале января), ее скорость максимальна.

Третий закон Кеплера

Кубы расстояний двух любых планет от Солнца относятся как квадраты их периодов обращения:

где R₁ и T₁ – расстояние и период обращения первой планеты, а R₂ и T₂ – расстояние и период обращения второй планеты. Кеплер установил, что в качестве расстояния R следует брать главную полуось эллипса.

Все три закона Кеплера являются следствием закона всемирного тяготения. Ньютону удалось использовать открытый им закон, чтобы сформулировать законы Кеплера.

Закон сохранения момента количества движения

При равномерном вращении тела по окружности радиусом R скорость тела v в каждой точке окружности направлена перпендикулярно линии радиуса (или иначе – по касательной к окружности в данной точке).

Импульс тела

будет также направлен перпендикулярно линии радиуса.

Величина L = Rp_± называется моментом количества движения (моментом импульса) вращающегося тела. Закон сохранения момента количества движения утверждает, что полный момент количества движения любой замкнутой системы должен всегда оставаться неизменным. Этот закон выполняется независимо от характера взаимодействия частиц системы между собой и независимо от траектории вращения тела. Тело может вращаться по круговой, эллиптической или любой другой траектории.

Пример. Фигуристка, выступая на соревнованиях, исполняет элемент вращения вокруг своей оси с широко раскинутыми руками. Не прекращая вращения, она плотно прижимает руки к телу. Это приводит к уменьшению среднего радиуса вращения, так как руки спортсменки, обладающие определенной массой, приблизились к оси вращения. Момент количества движения при этом не должен измениться, но радиус вращения уменьшился, значит, должна увеличиться скорость вращения. Это и происходит.

Центр масс

Если замкнутая система, содержащая N частиц (тел), испытывает поступательное и вращательное движение при отсутствии внешних сил, то в системе существует особая точка, не участвующая во вращении. Эта точка носит название центра масс. Координата центра масс определяется следующим образом:

где m₁, m₂…., m_N – массы частиц (тел), входящих в состав системы; M – полная масса всех частиц; x₁ – проекция на ось x расстояния R₁ до первой частицы и т. д. Составляющую скорости поступательного движения (не скорости вращательного движения) центра масс по оси x можно получить, если разделить обе части этого равенства на t, тогда

где P_x – проекция на ось x полного импульса системы. Согласно закону сохранения импульса, составляющие P_x, P_y и P_z при отсутствии внешних сил должны оставаться неизменными. Это означает, что при отсутствии внешних сил центр масс движется по прямой. При свободном движении с вращением и отсутствии внешних сил центр масс твердого тела не вращается и не ускоряется. Вот почему твердые тела и системы частиц всегда вращаются вокруг своего центра масс.

Согласно закону сохранения момента количества движения, Земля неизменно вращается вокруг своего центра масс с постоянной скоростью (если пренебречь действием внешних сил, вызывающих приливы и отливы).

Энергия

Кинетическая энергия

Определение: половина произведения массы тела на квадрат его скорости называется кинетической энергией E_кин этого тела:

Если тело имело начальную скорость v₀, то в соответствии с кинематикой и вторым законом Ньютона

или

В этом случае вся энергия Fs, сообщенная телу, идет на увеличение его кинетической энергии. Эта энергия, сообщенная телу массой т, служит мерой работы, произведенной над телом внешней силой. «Работа» – это просто другое слово для обозначения энергии, сообщенной телу внешней силой.

Потенциальная энергия

Рассмотрим случай, когда тело массой т находилось на поверхности земли, а затем под действием приложенной к нему силы, направленной против силы притяжения Земли, F= -F_G, поднялось на высоту h. Произведенная работа А равна:

A = Fh или A = mgh

Кинетическая энергия в данном случае не изменилась. На что была затрачена работа? На создание запаса энергии – потенциальной энергии, способной, в свою очередь, перейти в кинетическую. Чтобы перевести ее в кинетическую энергию, надо позволить телу падать. Когда тело пролетит вниз расстояние h, его скорость достигнет величины, определяемой соотношением

v² = 2gh (см. раздел Кинематика).

Вычислим его кинетическую энергию в конце пути:

Мы видим, что затраченная ранее работа может быть снова превращена в кинетическую энергию. Таким образом, понятие потенциальной энергии имеет буквальный смысл.

Определение: энергия, запасенная телом благодаря положению его массы, называется потенциальной энергией E _пот.

В рассмотренном выше случае E _пот = mgh.

Согласно другому определению, потенциальная энергия – это работа, которую надо совершить над телом массой m, чтобы переместить его вдоль направления действия «консервативной» силы. Под консервативными силами понимают силы, которые зависят только от положения тела. Сила сопротивления воздуха при движении любого вида транспорта зависит от скорости, поэтому не является консервативной.

Итак, потенциальная энергия – это, буквально, потенциально возможная энергия, или запасенная энергия.

Пример. Существуют стенные часы, которые имеют механический привод, т. е. идут, показывают текущее вермя благодаря гире, поднятой на некоторую заданную высоту. Гиря на прочной подвеске, висящая без упора над поверхностью пола, имеет запасенную потенциальную энергию. Гиря стремится опуститься вниз, при этом она постепенно передает свою потенциальную энергию механизму часов, – шестерни вращаются, стрелки движутся. Потенциальная энергия гири постепенно превращается в кинетическую энергию движения часового механизма.

Можно рассмотреть механические часы, имеющие другое устройство. Скажем, наручные или настольные часы, имеющие в качестве привода сжатую упругую пружину. Возникает вопрос: откуда берется энергия, перемещающая в данном случае часовые стрелки? Ведь в механизме таких часов не используется потенциальная энергия поднятого над поверхностью пола (стола, земли) тела. Простые рассуждения указывают, что требуемая для работы часов энергия запасена в сжатой пружине. Когда пружина разожмется полностью, запасенная энергия сжатия будет исчерпана, часы остановятся. Чтобы они снова стали работать, необходимо их завести, т. е. снова сжать пружину. Значит, при упругой деформации пружины в ней запасается энергия. Эта энергия тоже является потенциальной. Можно привести и другие примеры, когда потенциальная энергия может быть запасена не только благодаря изменению положения тела. Такие примеры позволяют обобщить понятие потенциальной энергии: потенциальная энергия – это энергия любой природы, полученная телом или физической системой любым путем. Запасенная потенциальная энергия может совершать работу или переходить в другие виды энергии.

Закон сохранения энергии

Закон сохранения механической энергии

Если мы наблюдаем за частицей (телом) массой m, которая в начальный момент времени имела скорость v₀ и потенциальную энергию E_{0 пот}, то закон сохранения механической энергии утверждает, что

т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной, что бы ни происходило с частицей. Если в системе имеется большое количество частиц, то все равно сумма полной кинетической и полной потенциальной энергий системы, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии всех частиц системы остается постоянной, если нет внешних сил.

Если полную механическую энергию системы обозначать W, то закон сохранения энергии примет вид:

W₁=W₂

для двух любых моментов времени t₁ и t₂ при отсутствии внешних сил.

Отступление: в 1905 г. А. Эйнштейн предложил внести изменения в эти законы; изменения существенны при очень больших скоростях, сравнимых со скоростью света (300 000 км/с). Новая теория получила название специальной теории относительности и подверглась всесторонней проверке в многочисленных опытах.

Эйнштейн положил в основу своей теории два принципа, которые он назвал двумя основными постулатами:

принцип относительности – не существует никакого способа установить, находится ли тело (система) в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения ? все законы природы совершенно одинаковы во всех системах, движущихся друг относительно друга без ускорений (в инерциальных системах).

Данная формулировка принципа относительности (принцип относительности Эйнштейна) отличается от принципа относительности Галилея тем, что в инерциальных системах считаются одинаковыми не только законы механики, как это постулируется принципом относительности Галилея, но и все остальные законы, например законы распространения света (или любых других электромагнитных сигналов);

принцип постоянства скорости света – независимо от движения своего источника свет всегда движется через пустое пространство с одной и той же постоянной скоростью с.

Второй постулат (принцип) первое время казался открытым вызовом здравому смыслу. Потребовалось достаточно много времени, чтобы привыкнуть к странной на первый взгляд мысли, что некоторая скорость (скорость света) имеет одну и ту же величину в разных системах отсчета, движущихся друг относительно друга.

Формулировка постулатов и содержание следствий, которые из них вытекают, показывают, что название «теория относительности» касается не относительности научных знаний, а относительной равноценности инерциальных систем.

Для наглядного представления выводов, которые можно сделать, основываясь на постулатах Эйнштейна, сам Эйнштейн обычно предлагал рассмотрение различных «мысленных опытов». Опишем один из таких, на наш взгляд, удачных мысленных опытов, приведенный в книге Ф. Ю. Зигеля «Неисчерпаемость бесконечности».

«Представим себе некий фантастический «поезд Эйнштейна», мчащийся куда-то с большой скоростью, близкой к скорости света. Заставим его, в отличие от реальных поездов, двигаться прямолинейно и равномерно. Допустим, что в середине одного из вагонов поезда укреплен источник света, по команде посылающий лучи света на заднюю и переднюю двери вагона.

Вполне возможно представить себе (и в этом нет ничего фантастического) фотоэлектрическое устройство, которое, как только луч света попадает в него, мгновенно срабатывает и открывает дверь. Будем считать, что фотоэлектрическим замком оборудованы обе двери. Наконец, для того чтобы результат рассмотрения стал, возможно, нагляднее, примем, что длина вагона поезда тоже очень велика.

Пусть теперь продолжает мчаться наш фантастический экспресс. Где-то в пути включается источник света, тот самый, что находится в середине экспериментального вагона. Напомним, что поезд движется прямолинейно и равномерно, а потому все явления в нем должны происходить совершенно так же, как если бы поезд стоял на станции. Следовательно, лучи света одновременно достигнут дверей вагона, которые одновременно откроются.

Именно это увидят пассажиры «поезда Эйнштейна». Совсем другая картина предстанет стрелочнику, которому удалось пронаблюдать эксперимент.

По отношению к стрелочнику лучи света движутся с той же скоростью ?, что и относительно вагона (второй постулат Эйнштейна). Но задняя дверь несется навстречу лучу света, а переднюю дверь ему, наоборот, приходится догонять. Следовательно, «левый» луч света (распространяющийся назад) быстрее достигнет задней двери вагона, а потом уже «правый» луч (распространяющийся вперед) откроет с помощью фотоэлемента переднюю дверь. В итоге стрелочник увидит, что двери вагона открылись не одновременно – задняя дверь на несколько секунд раньше, чем передняя. Таким образом, одни и те же события (открывание дверей) пассажирам поезда кажутся одновременными, а стрелочнику – разделенными некоторым промежутком времени.

Бессмысленно спрашивать, кто из них прав.

Ответ может быть только один – каждый прав по-своему. Убеждение, что два события, наблюдаемые нами как одновременные, и другим наблюдателям непременно покажутся одновременными, не больше чем предрассудок. Понятие одновременности относительно. На движущихся относительно друг друга телах время течет различно.

Поскольку понятие одновременности потеряло смысл, потеряли смысл и другие понятия. Относительным стало время, так как наблюдатели расходятся в оценках времени между одними и теми же событиями. Длина также стала относительной. Длина движущегося поезда не может быть измерена, если не известно точно, где находятся его передний и задний края в один и тот же момент времени. Иными словами, способ установления точной одновременности существенен для точных измерений расстояний и длин движущихся тел. При отсутствии такого способа длины движущихся тел становятся зависимыми от выбора системы отсчета.

В дополнение к изменениям длины и времени на движущихся телах происходит также изменение их массы. Масса – это мера инертности в теле. Для того чтобы определить массу движущегося тела, нужно измерить силу, которая необходима для сообщения ему определенного ускорения (второй закон Ньютона). Масса, измеренная таким способом, называется инертной массой, в отличие от гравитационной массы. Подобные измерения не могут быть выполнены без измерений времени и расстояний, которые меняются с изменением относительной скорости тела и наблюдателя. Как следствие этого – меняются также результаты измерений инертной массы.

Все три величины – длина, время и масса – для движущегося (равномерно и прямолинейно относительно внешнего наблюдателя) тела в специальной теории относительности определяются выражениями, содержащими параметр ?1 –v?/c?; v – скорость движения тела, с – скорость света.

Длина тела l, измеряемая вдоль направления движения тела, определяется формулой

где l₀ – длина этого же тела при v = 0.

Временной интервал любого процесса t на движущемся теле можно найти по формуле

где t₀ – временной интервал того же процесса на покоящемся (относительно внешнего наблюдателя) теле (при v = 0).

Согласно специальной теории относительности, масса тела (инертная масса) зависит от скорости:

где m₀ – масса покоящегося тела (масса покоя); c – как и раньше, скорость света.

Для небольших скоростей, с которыми мы обычно имеем дело, эти изменения размеров, интервалов времени и массы настолько малы, что их можно не учитывать. Так, например, даже при скорости 0,01c (3000 км/c) увеличение массы, согласно теории относительности, составит лишь 1/20 000.

Эквивалентность массы и энергии

Согласно специальной теории относительности, с ростом скорости тела (частицы) возрастает и его масса. При возрастании скорости растет и кинетическая энергия. Простое соотношение между увеличением массы и увеличением энергии было получено Эйнштейном:

где ?m – увеличение массы, соответствующее увеличению энергии ?Е_кин. Эйнштейн предположил, что полная энергия Е, соответствующая массе т,

E = mc?

Это огромная энергия. Расчет по приведенной формуле показывает, что 1 кг любого вещества содержит в себе энергию (эквивалентен энергии), которая больше электроэнергии, потребляемой всеми странами, существующими на Земле, в течение недели.

Мы с вами немного отвлеклись для пополнения научного багажа, а теперь чуть подробнее о природе самих планет.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.