Неевклидова геометрия

До середины XVIII в. абсолютно все были уверены, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную первой. А профессиональные геометры точно знали: две прямые, пересеченные третьей, образующей с ними по одну сторону два угла, которые не превышают в сумме 180°, обязательно пересекутся между собой. Эти незыблемые правила придумал греческий ученый Евклид, который жил в IV–III вв. до н. э. И вот более чем через 20 столетий двое смелых математиков — венгр Янош Бойяи и россиянин Николай Лобачевский — рискнули заявить, что плоская геометрия Евклида не единственная, есть еще и геометрия объемная, где действуют несколько иные законы.

Янош Бойяи (1802–1860) с детства буквально бредил идеей доказать постулат о параллельных прямых. Он знал, что его папа Фаркаш обсуждал эту проблему со своим другом, известным немецким математиком Карлом Гауссом (1777–1855): оба бились над покорением теоремы, однако, судя по всему, ничего у них не получалось.

В переписке с Фаркашем Карл не раз высказывал мысль, что, возможно, данное утверждение просто ошибочно. Может, есть еще какой-то способ расположения тел в пространстве, отличный от описанного Евклидом? Мол, вон и Кант говорил о каких-то других геометриях, а Канту можно верить: он был знатным мудрецом…

Однако это предположение казалось слишком фантастическим, потому Бойяи-старший изо всех сил пытался отговорить сына от «бессмысленной» работы над теоремой. «Не трать на это и часа!» — увещевал он, и юный Янош послушно просиживал над задачей о параллелях… по 24 ч кряду. В отчаянии Фаркаш в конце концов обратился к Гауссу, чтобы тот хоть как-то повлиял на упертого мальчишку, но Карл, будучи в курсе всех расчетов Яноша, сказал, что не может этого сделать, поскольку сам уже 35 лет занимается данным вопросом, а главное — неизменно приходит к тем же результатам. Постулат доказать нельзя, и он не связан с остальными законами «плоской» геометрии.

Путь, который привел Яноша к такому выводу, был подробно описан на 24 страницах, в качестве бонуса вошедших в работу Бойяи-старшего. В статье Янош опровергал утверждение Евклида о том, что углы треугольника в сумме должны составлять 180°, а у прямоугольника все углы прямые. Ведь если представить себе фигуру, начерченную на вогнутой поверхности, станет ясно: стороны треугольника (так же как и прямоугольника) искривлены внутрь, и сумма углов не дотягивает до 180°; да и вообще, каждый треугольник по сумме углов уникален, ведь степень искривленности у всех разная. Кроме того, на кривых поверхностях нельзя нарисовать подобные треугольники разного размера: чем меньше фигура, тем меньше у нее углы, а чем фигура крупнее, тем и углы больше. Так что в тех случаях, когда углы у треугольников равны, фигуры совершенно одинаковы — их можно наложить одну на другую.

Прочитав выкладки юного ученого, Гаусс восторженно написал его отцу: «Твой молодой геометр — настоящий гений! По моему глубокому убеждению, если мы отбросим идею о единичности параллельной прямой, то не совершим ошибки, каким бы странным ни казался этот отказ». Так небольшое сочинение под скромным названием «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» (в просторечии прозванное «Аппендиксом») положило начало перевороту в геометрической науке.

Впрочем, Бойяи оказался не единственным революционером. Корпя над пятым постулатом Евклида, он и не знал, что в России ту же проблему пытается решить еще один молодой математик — Николай Лобачевский (1792–1856). Доказательством пятого закона евклидовой геометрии Николай увлекся в студенческие годы, но все его старания, разумеется, не увенчались успехом. Тогда он пошел ва-банк и в своем дебютном труде по геометрии заявил: «Через точку, расположенную вне прямой, можно провести несколько прямых, которые никогда не пересекут первую».

Конечно же, данное правило Лобачевский сформулировал в расчете не на ровную поверхность, а на вогнутую («с отрицательной кривизной») вроде лейки, седла, внутренней стороны зонта, чашечки цветка и прочего. Такая поверхность образуется при вращении особой кривой линии — трактрисы — вокруг своей оси, а форма трактрисы очень похожа на траекторию тележки, которую везет за собой бабушка, или сумки на колесиках, катящейся вслед за пассажиром. Эта кривая изогнута так, словно тележка/сумка постоянно пытается догнать того, кто ее тащит. Поверхность, созданная вращающейся трактрисой, напоминает перевернутую вверх тормашками лейку, и если чертить на ней параллельные линии, то они тоже будут изгибаться и расходиться в стороны. (Эти линии называются геодезическими: у них много общего с меридианами на земном шаре.) Действие закона Лобачевского можно пронаблюдать и на примере матраса с узором из параллельных полосок. Пока на него никто не сел, его поверхность можно считать евклидовой — полосы не пересекаются. Но стоит только положить на матрас, скажем, гирю, как его поверхность станет вогнутой, гиперболической, и две-три полоски встретятся в одной точке, но при этом не пересекут непримятые линии.

О своем открытии Лобачевский впервые рассказал в феврале 1826 г. на научной конференции в Казанском университете, а три года спустя вышла его работа «Новые начала геометрии». В комментариях к работе ученый написал, что усомниться в истинности утверждения Евклида его заставили безуспешные многовековые попытки доказать этот закон, ведь предпринимались они исключительно на бумаге, тогда как проверить действие теоремы невозможно без живых экспериментов. К сожалению, коллеги Лобачевского ничего не поняли — на ученого потоком полилась критика и обидные издевки. Признание к Лобачевскому пришло через 11 лет, когда с его работой ознакомились европейские математики. По предложению Гаусса, он стал членом-корреспондентом Научного общества Геттингенского университета.

Затем немец Бернхард Риман (1826–1866), вдохновленный идеями русского ученого, исследовал обратную сторону гиперболической геометрии — построения на поверхности сферы. Как оказалось, параллельных линий на ней не проведешь: все прямые где-то да пересекаются, и вообще, прямыми их назвать нельзя, потому что изгибаются они вместе с плоскостью. Кроме того, углы любого треугольника дают в сумме больше 180°, поскольку два угла у него прямые и один тупой. Используя дифференцирование, Риман вычислил минимальные составляющие площади такой поверхности, а также определил степень кривизны трехмерного пространства. Он правильно подметил, что ровных плоскостей не существует, поскольку всякая поверхность изгибается в соответствии с округлой формой планеты, с кривизной вселенского пространства. Не удивительно, что его расчетами воспользовался Альберт Эйнштейн, когда разрабатывал в рамках теории относительности концепцию деформаций пространства — времени и связи этих процессов с массой тел.

В 1871 г. соотечественник Римана, Феликс Клейн, создал собственный вариант неевклидова пространства. Как ни странно, оно было плоским, но законы Лобачевского в нем соблюдались, поскольку эту плоскость ограничивала окружность. То есть все геометрическое действо совершалось внутри этой окружности, а роль прямых играли хорды — отрезки между точками на окружности, — только без конечных точек. На такой круглой плоскости можно скрестить сколько угодно прямых, ни одна из которых не пересечет отдельную прямую, лежащую чуть в сторонке.

Наконец, английский математик Артур Кэли подвел черту под исследованиями своих иностранных коллег и заключил, что геометрия состоит из трех разделов: евклидовой (параболической), гиперболической, основанной на законах Лобачевского, и эллиптической, разработанной Риманом. С той поры эти три разновидности дополняют одна другую, формируя целостную картину мира.