Теорема Пифагора

Это, пожалуй, самая знаменитая и самая запоминающаяся геометрическая теорема. Если кто и забыл, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (на всякий случай напомним: катеты — это стороны прямоугольного треугольника, расположенные под углом 90°, а гипотенуза — соединяющая их сторона), то уж смешной стишок про пифагоровы штаны, которые во все стороны равны, наверняка знают все. Впрочем, сам великий греческий математик понятия не имел, что такое штаны (в VI–V вв. до н. э. такого предмета гардероба просто не было), а стишок сочинили школьники гораздо позже: ведь для наглядного доказательства теоремы учитель, как правило, строит на каждой стороне прямоугольного треугольника квадраты, а такой рисунок получается весьма похожим на брюки. Кстати, в эпоху Средневековья теорема именовалась другим прозвищем — «мостик для осла».

Как ни странно, история теоремы Пифагора началась задолго до ее официального рождения. Более чем за 2 тысячи лет до н. э. египтяне строили прямые углы на местности с помощью веревок с узелками — гарпедонаптов. Веревка делилась узлами на 12 равных отрезков и натягивалась на три колышка, установленных под прямым углом, в результате чего формировался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Вероятно, египетские землемеры уже могли вычислить, что сумма квадратов чисел 3 и 4 равна квадрату числа 5 (9 + 16 = 25). Хотя зачем им нужны были такие сложные расчеты, непонятно. Судя по древним рисункам, в то время в Египте уже существовали деревянные треугольники, которыми активно пользовались все плотники.

Следом за египтянами находить гипотенузу прямоугольного треугольника по известным катетам научились жители Вавилона, которым данное правило помогало решать разнообразные практические задачи (например, определять диагональ квадратного участка поля). Закон, справедливый для равнобедренного треугольника, коим является отделенная диагональю половина квадрата, был распространен и на другие виды прямоугольных треугольников, с разными катетами. Как оказалось позже, вавилоняне, действуя наобум, сделали абсолютно правильные выводы.

Индусы, относившиеся к геометрическим построениям как к чему-то сакральному, раскрыли секрет «пифагоровой» теоремы еще в XVIII в. до н. э. Да и китайские математики издревле знали, что если лучи прямого угла соединить линией, то соотношение сторон полученного треугольника будет выглядеть как 3:4:5.

Пифагор (570–495 до н. э.) очень много сделал в свое время для развития математики. Он создал собственную теорию чисел, сформулировал законы пропорции, вывел основные алгебраические и геометрические аксиомы и теоремы, придумал разные способы доказательств этих теорем — логическим, а не опытным путем, который так нравился его предшественникам. Наконец, основал математическую школу, где делился знаниями со всеми желающими. Правда, открытия учеников Пифагора зачастую приписывались самому Пифагору (ну, так было принято), а составлять конспекты лекций ученый не успевал, из-за чего у историков возникали определенные сложности. Кто что рассчитал и кому принадлежит то или иное доказательство, приходилось расследовать по чужим письменным воспоминаниям.

В конце концов историки сделали вывод, что Пифагор читал труды своих предшественников и именно оттуда почерпнул правило сторон треугольника. А на практике впервые применил его в процессе изучения свойств пентаграммы — пятиугольной звезды, которая состоит из трех прямоугольных равнобедренных треугольников. (Пентаграмма, как идеально пропорциональная фигура, считалась у пифагорейцев священным символом и служила опознавательным знаком. Если во время странствия ученик Пифагора заболевал и умирал, его собратья могли узнать об этом по звезде, нарисованной на воротах его последнего пристанища.) При этом вполне вероятно, что теорема была сформулирована Пифагором не так, как мы привыкли («квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»), а геометрическим способом: «величина квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует величине обоих квадратов, построенных на катетах». По легенде, увидев такое диво воочию, великий математик на радостях принес в жертву богам сотню быков.

Затем Пифагор загорелся идеей доказать свою теорему и, по всей видимости, применил для этого собственные законы пропорций. Говорят, он разделил прямой угол треугольника АВ перпендикуляром к гипотенузе С, разбив ее на отрезки D и F, и составил соотношение сторон полученных треугольников. «Большой» катет А относится к «большой» гипотенузе С так, как «малый» катет D относится к «малой» гипотенузе А; «большой» катет В относится к «большой» гипотенузе С так, как «малый» катет F относится к «малой» гипотенузе В. Из этой пропорции получалось, что А2 = СD, В2 = СF, а сумма квадратов А и В равна С, умноженному на сумму D и F, то есть на само себя. Пифагорейцы были уверены, что в любых измерениях участвуют только целые числа, но последующие расчеты привели их к тому, что гипотенуза может быть равна и корню из числа 2 (если длина каждого катета составляет, например, 1 метр или сантиметр). А корень из числа 2 давал совершенно невероятные значения. Так были открыты иррациональные числа.

Вообще, доказать теорему Пифагора пытались все кому не лень. Даже Леонардо да Винчи и американский президент Дж. А. Гарфилд. К 1940 г. доказательств набралось так много (370!), что теорему даже включили в Книгу рекордов Гиннесса.

Греческий философ Сократ основал свое доказательство на методе площадей: построил большой квадрат на диагоналях четырех меньших квадратов и наглядно продемонстрировал, что площадь большого квадрата складывается из 4 площадей заполняющих его прямоугольных треугольников либо из 2 площадей малых квадратов.

Британский математик Годфри Харди (1877–1947) использовал в доказательстве дифференциальные уравнения. Американский логик Рэймонд Смаллиан (1919–2017) на своих лекциях предлагал слушателям представить, будто к сторонам прямоугольного треугольника прикреплены золотые квадратики, и подумать, что выгоднее взять: один большой квадрат или два поменьше (конечно же, квадраты были равноценны). Персонаж детской книги Электроник знал 25 доказательств, среди которых был и метод «мозаики Пифагора». Согласно этому методу, нужно выложить на полу квадраты двух размеров, разместив вокруг каждого маленького четыре больших. Если накрыть такую мозаику сеткой с квадратными ячейками, мы увидим квадраты, «выросшие» на сторонах прямоугольных треугольников. Кстати, именно Пифагор догадался, что замостить площадь в окрестностях определенной точки можно лишь тремя шестиугольниками, четырьмя квадратами либо шестью треугольниками.

Недаром знаменитый астроном-новатор Иоганн Кеплер назвал теорему Пифагора золотым сокровищем геометрии, а голландский математик ХХ в. Бартель ван дер Варден считал, что главная заслуга греческого ученого заключается в том, что он систематизировал хаотичные знания предшественников и превратил математику в точную науку.