Вещественные числа

Считать люди научились еще в те дремучие времена, когда приходилось жить в пещерах и бегать за мамонтами. Нужно же было знать, например, на какое количество членов племени следует разделить добычу. Позже появилась необходимость считать врагов и оружие, выловленную рыбу и драгоценные ракушки или шкуры, на которые ее можно выменять, а еще оценивать размеры поля для выращивания зерна и количество самого зерна… Много или мало? Один, два или тьма? Именно такими понятиями оперировали наши предки. Неслучайно ведь в разных языках закрепилось лишь единственное и множественное число. Так, аборигены Австралии знали только две цифры — 1 и 2, из которых складывали все остальные (пять — это два, два и один; шесть — два, два и два и пр.). Как ни странно, подобная примитивная двоичная система используется до сих пор, причем не в глухих деревнях, а в электронных схемах, на которых работают компьютеры.

Несмотря на бытовое применение, числа издревле вызывали у людей благоговение. Это же не вещи, которыми можно полюбоваться, пощупать, передать кому-то, — числа вроде бы есть, а вроде бы и нет. Впрочем, с развитием торговли культ чисел постепенно отошел в прошлое ? наших предков в большей мере стал занимать их материальный эквивалент, и назрела необходимость усовершенствовать систему счета.

Сначала был расширен ряд натуральных чисел — ведь именно они помогают посчитать любые предметы. Несложно догадаться, что это числа от 1 до бесконечности, хотя древние люди так много не знали. Самое большое число, которое было им известно, — 10 тысяч. Китайцы называли это число «вань», монголы — «тумен», восточнославянские народы — «тьма», а греки — «мириада» (в переводе с их языка «мирос» означает «невероятно большой»).

Первым, кто смог построить действительно длинный ряд натуральных чисел, был всем известный греческий математик Архимед (III в. до н. э.): ему удалось посчитать, сколько песчинок поместится во Вселенной. В те времена Вселенная представлялась хрустальной сферой, и ученый вычислил ее диаметр, опираясь на его отношение к диаметру земной орбиты, а орбиты — к диаметру Земли. Вышло 15 триллионов километров. Песчинки Архимед посчитал тоже методом сравнения: сколько песчинок в маковом зернышке; сколько зернышек в дюйме (2,5 см) — и далее, и далее, пока не дошел до цифры с 64 нолями. Вычисления оказались на удивление точными: относительно недавно физики узнали, что в наблюдаемой части Вселенной содержится около 1081 элементарных частиц, а это соответствует количеству песчинок, найденному Архимедом. Позже мудрый эллин нашел число, которым можно опоясать земной экватор 2 млн раз, и оно содержало 80 квадрильонов нолей! Среднестатистический грек даже осмыслить такого не мог — для него все, что больше мириады мириад, было просто «легионом».

Сам термин «натуральное число» был придуман уже в нашу эру: первым его использовал греческий математик Никомах Герасский (II в.), а затем римский философ Боэций (V–VI вв.). В научном трактате словосочетание «натуральные числа» появилось только в XVIII в. с подачи французского ученого Жана д’Аламбера, и это знаменовало рождение современной алгебры. А позже математики сошлись во мнении, что ряд натуральных чисел бесконечен.

За несколько тысяч лет до нашей эры жители города-государства Вавилон уже могли похвастать позиционной системой счисления, которая позволяла записывать многозначные числа, не растягивая это удовольствие на несколько строк. У вавилонян было 60 основных чисел, которые изображались разными комбинациями «вилочек» и «плавников», а для записи б?льших значений нужно было просто расположить готовые числа в правильной последовательности, опираясь на шестидесятки так, как мы опираемся на десятки. Кстати, эта система до сих пор служит нам для измерения времени и углов.

Кроме того, граждане Вавилона строили причудливые здания и часто сталкивались со сложными расчетами: например, как найти диагональ прямоугольника или площадь пирамиды без верхушки? Как соотносятся длина окружности и ее диаметр? (Последнее привело вавилонян к приблизительному значению числа «пи».) В ходе этих вычислений люди осознавали, что не всегда при делении одного натурального числа на другое можно получить снова-таки натуральное значение. Если нужно найти треть какого-либо объема, следует 1 разделить на 3, и выйдет не целое, а дробное число. Так были открыты рациональные числа — дроби, состоящие из целого числителя и натурального знаменателя. А еще вавилоняне первыми научились извлекать из чисел квадратные и кубические корни.

Что касается целых чисел, то их «вторая половина» — отрицательные числа — была открыта сразу после того, как у людей сформировалось представление о ноле. Конечно, то, что из одного яблока как-то неудобно отнимать два, замечали давно. Но чисел, которые отображали бы результат, просто не было, да и разве можно этот результат себе представить? Первым, кто решился ввести «невозможные» числа со знаком минус, стал греческий ученый Дифант, и случилось это в III в. уже нашей эры. Однако на протяжении еще 6 веков человечество мучилось вопросом, как решать уравнения и не получатьотрицательный результат. Несколько способов предложил узбекский ученый Абу Абдулла аль-Хорезми (783–850) в своем труде «Аль-Джебр» (дословно: «Восстановление положительных величин») ? от названия этого трактата образовалось слово «алгебра». Впрочем, в конце концов к «минусовым» числам все привыкли — с их помощью оказалось удобно записывать долги, — и группа целых чисел, включающая отрицательные, положительные (натуральные) и ноль, сложилась полностью.

А между тем люди уже знали, что помимо целых чисел существуют дробные, они же рациональные. И что есть еще какие-то странные числа, которые получаются, к примеру, при попытке извлечь квадратный корень из числа 2.

В VII в. до н. э. индусы попробовали найти такое число, которое можно умножить на него же и получить 61, но у них ничего не вышло.

А сто лет спустя с этим явлением столкнулся греческий математик Пифагор. Вообще, Пифагор учил своих последователей основам математической гармонии, которая предусматривала обычные дроби. Так, стороны прямоугольников легко находились по соотношению между собой: если ширина четко делилась на два одинаковых отрезка, а длина — на семь таких же отрезков, то первую принимали за единицу, а вторую — за ???. А если принять половину ширины за единицу измерения, то площадь фигуры можно определить, умножив 2 на 7. Однако, когда дело дошло до измерения сторон мистической пентаграммы, все перепуталось. Пентаграмма состоит из равнобедренных прямоугольных треугольников, и Пифагор нашел, что сумма квадратов катетов такого треугольника равна квадрату гипотенузы. Приняв длину каждого катета за единицу, ученый вычислил длину гипотенузы — корень квадратный из числа 2 — и…растерялся. Что за число такое получается? Конца-края ему нет!

Потом Пифагор от противного доказал, что это число нельзя представить в виде рациональной дроби, и дал ему название иррационального. Впоследствии выяснилось, что иррациональные числа, в отличие от рациональных, не содержат систематически повторяющихся комбинаций цифр — в них все непредсказуемо. А кроме того, если рациональные числа можно посчитать, то иррациональных бессчетное множество.

Таким образом, целые, рациональные и иррациональные числа объединились в группу вещественных, или действительных. А позже оказалось, что в их компании кое-чего не хватает, а именно значений, которые получаются при извлечении корня из отрицательных чисел. Речь идет о числах комплексных.