Дифференциал и интеграл

Первые представления об интеграле люди получили еще в древности, пытаясь определить, например, площадь участка земли или объем бочки. Поскольку тогда никто еще не располагал таким широким ассортиментом вещественных чисел, каким пользуемся мы, нашим предкам приходилось идти на разные хитрости. Зачастую вопрос решался путем чертежей и геометрических измерений. Так, в IV в. до н. э. греческий математик Евдокс Книдский придумал весьма изобретательный способ вычислений. Базировался он на сравнении любых фигур с квадратом, потому расчет площади получил название квадратура, а нахождение объема — кубатура. Скажем, чтобы узнать площадь круга, Евдокс сначала вписывал в него квадрат, измерял, затем дорисовывал квадрат до восьмиугольника и измерял треугольнички в сегментах круга, потом трансформировал восьмиугольник в 16-угольник — и продолжал до тех пор, пока многогранник не сливался с окружностью. Финальным аккордом было суммирование площадей всех фигур, составляющих круг (от самой крупной до мельчайших), и определение общего размера. Таким образом, ученый словно вычерпывал круг, и его алгоритм был назван методом исчерпывания.

В III в. до н. э. знаменитый Архимед отшлифовал и упростил данный алгоритм. Это позволило ему вычислять размеры разных сегментов параболы (участков внутри кривой, которые получаются при ее пересечении прямой), габариты шара и эллипсоида (тела, образованного поверхностью вращающегося эллипса, — то есть как бы эллипса в 3D), а также шара, вписанного в цилиндр. Более того, ученый вывел формулу площади круга: квадрат радиуса, умноженный на число «пи», — и даже уточнил само значение «пи»: больше 3 ????? и меньше 3 ?????.

Другой известный эллин — философ Демокрит (460?370 до н. э.), создал собственную методику расчета площадей нестандартных фигур, которая оказалась еще ближе к интегрированию, нежели способ Евдокса и Архимеда. Суть метода была в сложении максимально большого количества минимальных площадей. К примеру, при вычислении размеров трапеции с искривленной верхней стороной Демокрит делил фигуру на множество вертикальных отрезков, прочерчивая их так часто, как только мог. Затем рассчитывал площадь полосок между каждой соседней парой отрезков и суммировал все результаты. Элементарные площади были настолько малыми, что философ приравнивал их к нулям, признавая, однако, их исключительность, ведь в массе своей они являли не ноль, а положительное, подчас даже большое число.

На рубеже XVI–XVII вв. многие ученые принялись развивать идеи античных мыслителей. Так, астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) находил способом Демокрита площади эллипсов, а также размеры разных объемных предметов. Несложно догадаться, что второе предусматривало разрезание объектов измерения на узенькие кубоиды с помощью тонких-претонких пластинок. Основываясь на опыте Кеплера, итальянец Бонавентура Кавальери вывел правило для определения размеров любых фигур: если параллельные прямые пересекают две фигуры так, что получаются отрезки равной длины либо сечения одинаковой площади, то данные фигуры по габаритам равноценны.

В 1629 г. француз Пьер Ферма догадался, как можно вычислять площадь под параболами, гиперболами и прочими кривыми в системе координат. Метод, которым он пользовался, — сложение энного числа минимальных составных площадей — оказался эффективным еще и для определения центра тяжести тел.

Вообще, каждый математик предлагал свой способ решения конкретной задачи, однако систематизировать эти методы и создать на их основе некий универсальный алгоритм никому и в голову не приходило.

Не думали ученые и о том, что задачи, предполагающие проведение касательных, как-то связаны с нахождением площадей. Да, в XVII в. уже знали, что касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу. И даже умели чертить касательные к более извилистым кривым — для этого следовало провести прямую через две ближайшие точки кривой. Но о том, что такое умение может помочь в определении, например, изменений скорости на минимальных отрезках пути или температуры воздуха за минимальные временные периоды, долгое время не догадывались.

Лишь к середине столетия ученых осенило: а ведь упражнения с касательными — это обратная сторона поиска площадей под кривыми. Точки кривой (в частности, графика функции), через которые проходит касательная, указывают на изменение какого-либо процесса за бесконечно малый промежуток времени, а площадь под этой кривой демонстрирует общий результат процесса и складывается из множества минимальных изменений. Путешествуя, мы можем фиксировать скорость движения с интервалом, скажем, в полчаса. Это позволит нам построить график изменения скорости со временем и узнать, как она уменьшалась либо увеличивалась на каждом минимальном отрезке пути за каждый минимальный временной период. Нужно только провести луч через две точки кривой, расположенные так близко одна к другой, что прямая пройдет по касательной. Угол между лучом и горизонтальной осью покажет элементарное изменение скорости (производную). Проделаем эту операцию на всем участке кривой, соответствующем продолжительности путешествия, отмеченной на горизонтали, — то есть дифференцируем функцию. А потом определим полное пройденное расстояние: проведем из каждой точки, обозначенной на кривой, перпендикуляры к временной оси. Вычислим площадь каждой узенькой полоски между отрезками и сложим все значения. Так мы интегрируем функцию. Если построить еще один график по точкам, отображающим показатели мгновенных изменений, то получится производная функция. А ее «прародительница» станет первообразной.

Первым, кто смог связать касательные и площади, дифференцирование и интегрирование, а главное, прописать четкие законы этих процессов на основе уже имевшихся многочисленных алгоритмов, был немецкий математик и физик Готфрид Лейбниц (1646–1716). Именно он придумал значок интегрирования ? — от буквы S, символизирующей суть такого исчисления: summa. А еще сформулировал основную теорему математического анализа, которую независимо от него вывел автор законов движения и всемирного тяготения — Исаак Ньютон. Согласно этой теореме, чтобы найти площадь между графиком функции и определенным отрезком абсциссы, нужно вычислить разность двух крайних значений первообразной, которые соответствуют концу и началу заданного отрезка. Само слово «интеграл» (что значит «восстановленный, целый») принадлежит швейцарскомуматематику Якобу Бернулли, а «интегральное исчисление» — его младшему брату Иоганну.

В XIX в. изучением возможностей интегрирования и дифференцирования, объединенных в анализ бесконечно малых, занимались французские математики Огюстен-Луи Коши и Анри Лебег, немецкий ученый Бернгард Риман и другие. Последний изобрел собственный метод интегрирования, который на примере можно описать так: если вам на голову вдруг свалился мешок денег и вы хотите узнать точную сумму, сначала рассортируйте их по номиналу (например, стопка купюр в одну гривну, в две гривны, пять, десять, двадцать и т. д.), затем посчитайте количество купюр в каждой пачке, умножьте каждое число на соответствующий номинал и сложите все значения.

Очевидно, что интеграл и дифференциал, открытые в XVII в., значительно облегчили многие виды задач на вычисление, повысили точность расчетов и позволили отслеживать малейшие изменения любых жизненных процессов.