Экскурс в статистику

В классе, где вы учитесь, около тридцати учеников. Узнайте рост каждого из них, запишите, а потом попробуйте проанализировать эти записи. Допустим, что самый маленький ученик имеет рост 150 сантиметров, самый высокий — 190. Между самым большим и самым маленьким будет относительно непрерывный ряд переходов. При увеличении числа учащихся непрерывность ряда увеличилась бы еще больше.

А теперь установите средний рост учеников. Уверен, что многие, сложив 150 и 190 и разделив полученное число на 2, скажут, что средний рост 170 сантиметров, Среднее арифметическое между 150 и 190 в какой-то мере безусловно отражает средний рост учащихся. Однако для биологических исследований эта цифра недостаточно точна. Нужно взять среднее взвешенное. Попробую рассказать, что это такое.

Разобьем наш материал, 30 цифр, каждая из которых— рост ученика, на 8 групп, или, как сказали бы статистики, на 8 классов; классовый промежуток будет равен 5 сантиметрам. В результате получим такой ряд: 150–155—160—165–170—175—180–185—190. Теперь распределим по этим классам истинные цифры роста, полученные при измерении. Ученик, рост которого, скажем, 166 сантиметров, попадает в класс 165–170. Легко понять, что такая разбивка по классам значительно облегчает работу. Если при небольшом материале, как, например, в нашем случае, когда количество измерений n («н» — латинское) равно 30, еще можно иметь дело с истинными цифрами, то при n = 1000 в них легко запутаться.

Не зная, какие цифры получатся у тебя, читатель, я возьму результаты измерения роста 31 ученика 10-х классов одной из московских школ, где измерялись только юноши:

145—150 1

150—155 2

155—160 1

160—165 5

165—170 5

170—175 8

175—180 5

180—185 3

185—190 1

На долю крайних классов — самых маленьких и самых больших — приходится меньшее число учащихся, нежели на долю средних. Среднее арифметическое в этом случае будет (145 + 190): 2 = 167,7 см. Между тем в класс 165–170, к которому относится высчитанное простейшим способом среднее, попали измерения 5 учеников, в то время как в следующий класс — 8. Ниже 170 сантиметров оказалось 14 учеников, выше этой цифры — 17. Следовательно, высчитанное простейшим способом среднее не отражает истинного положения. Поэтому-то и высчитывается среднее взвешенное. Рассчитать его не так уж сложно. Достаточно просто сложить все измерения и разделить их на n. Можно также число промеров, приходящихся на каждый из классов, умножить на среднее значение класса, суммировать произведения, а потом разделить на n (31). В общей форме это может быть выражено так:

М взв. =?_x/n

М взв. — здесь искомое среднее, х — значение промера, ? — знак, обозначающий сумму, n — количество измерений.

Селекционеру приходится вычислять ошибки средних, коэффициенты корреляции и многое другое. Для этого он изучает специальную область математики, взятую на вооружение биологами, — биометрию.