Глава десятая Арифметика Пределы разума

Глава десятая

Арифметика

Пределы разума

Бог создал целые числа, все остальное есть дело рук человека.

Леопольд Кронекер

Великая идея: если арифметика состоятельна, то она неполна.

Одним из тончайших творений человеческого ума является математика, ибо она не только представляет собой апофеоз рационального мышления, но и также образует позвоночный столб, который придает научным умозрениям достаточную четкость для сопоставления их с опытом. Научные гипотезы сами по себе желеобразны; для того чтобы их было можно подвергнуть проверке и встроить в сетку понятий, составляющих физическую науку, они нуждаются в жесткости математических формулировок. Широко распространено мнение, что математика не является наукой, поскольку она может, вольно или невольно, раскручивать Вселенные своих собственных дискурсов, Вселенные, для которых, если не считать требования логической строгости, нет необходимости иметь сколько-нибудь значительные связи с миром, в котором мы, как нам кажется, обитаем. Как таковая, математика в этой книге может казаться контрабандным товаром. Однако, поскольку она занимает центральное положение в научном методе мышления, математику приветствуют как дорогого гостя и отводят ей почетное место среди других наук. Более того, победное шествие абстракции в физических науках и шевеление абстракции в чреве биологии делают поиски места, где кончается математика и начинается наука, не только затруднительными, но и беспочвенными, похожими на попытку нанести на карту очертания утреннего тумана.

Существует еще одна, связанная, впрочем, с изложенной выше, причина, по которой оказывается уместным включить сюда математику. Наиболее продуктивные ученые, являясь личностями прагматичными и рассудительными, просто высоко ценят удивительную способность математики служить описанием физического мира и благодарны за то, что в их руках находится такое изысканное и могущественное интеллектуальное оружие. Но есть и такие, кто идет дальше благодарностей и приложений и желает знать, указывает ли этот плодотворный союз научного наблюдения и математического описания на более глубокое свойство математики, которое еще не совсем идентифицировано и, определенно, совсем еще не объяснено. Венгеро-американский физик-теоретик Юджин Пол (J?n? P?l) Вигнер (1902-95), столь много сделавший для формулирования математической теории симметрии и ее приложения к физическим проблемам, был озадачен замечательной способностью математики служить языком описания мира:

Чудесная возможность пользоваться языком математики для формулирования законов физики является волшебным даром, который мы не понимаем и которого не заслуживаем.

Эйнштейн высказал близкую мысль, когда заметил, что наиболее трудной для постижения чертой мира является то, что он постижим.

Я намереваюсь посвятить эту главу скорее разговорам о математике, чем изложению самой математики, или даже — исключая те места, где я сочту это уместным, или неуместным, но занимательным — истории идей, на которых математика выросла. Иными словами, я буду говорить о том, что, по их мнению, делают математики, когда они придумывают свои теоремы или решают свои уравнения. Я не буду касаться деталей того, что они делают, поэтому вам не придется проходить доказательство теоремы Пифагора или правила решения квадратных уравнений. Как таковая, эта глава больше касается философии математики, в частности математической онтологии, оснований этого предмета, чем техники, которую каждый из нас изучал либо с восхищением, либо с чувством отвращения и страха. С другой стороны, я намерен использовать эту главу для проверки обоснованности часто цитируемого, но все же пристрастного изречения Бертрана Рассела:

Чистая математика — это предмет, в котором мы не знаем, о чем мы говорим, и верно ли то, что мы говорим.

Я принимаю во внимание тот факт, что большинство моих читателей будет испытывать дискомфорт и, возможно, подавленность от воспоминаний о математике, или, по крайней мере, будет обеспокоено предвосхищением того, что потребуется для понимания подобной главы. Успокойтесь: это не учебник. Я собираюсь сосредоточиться на обворожительных фрагментах и буду заранее указывать места, которые можно, по крайней мере при первом чтении, перепрыгнуть, не теряя нити повествования. Более того, вам следует иметь в виду, что эта глава не является математической; это рассказ о математике.

Мое последнее вводное замечание начертает еще одну перспективу для этой главы. Мы прошли через последовательность все возрастающих абстракций, наблюдая, как знакомые понятия растворяются в более могущественных понятиях, их сменивших. Математика является высшей точкой нашего путешествия, в которой абстракция является самой сутью: математика является чистой, голой, развоплотившейся абстракцией. А потому, нам следует ожидать необычайного могущества.

Фундаментальной трудностью математики является то, что она пытается оперировать натуральными числами, числами повседневного счета 0, 1, 2, 3, …, которые широко используются, но изначально не определены. Натуральные числа используются как количественные числа, для обозначения номера предмета в наборе, и как порядковые числа, для упорядочения предметов в список. Это числа соответствуют различным понятиям, и в языке мы даем им разные названия: один, два, … для количественных чисел, и первый, второй, … для порядковых чисел. Большая часть того, что я должен сказать, будет относиться к натуральным числам в качестве количественных чисел.

Как мы вскоре увидим, с тех пор, как математики начали, в своей характерной глубокомысленной манере, размышлять о натуральных числах, стало очевидно, что удивительным является даже то, что мы вообще можем считать. Ведь этих чисел так мало (всего лишь бесконечность), и они столь редки, что с некоторой точки зрения удивительно, как древним людям удалось наткнуться на них в первый раз. Мы уже можем начать понимать некоторые из проблем, беспокоящих математиков даже на этой ранней стадии обсуждения. Например, действительно ли количественные числа продолжаются до бесконечности, или более верным, чем вечно марширующие без всякого пункта назначения числа, представлением является так называемая ультрафинитистская математика, в которой натуральные числа выдыхаются до того, как достигнут бесконечности? И поскольку, если быть честными, мы не способны непосредственно воспринимать бесконечность, можно ли полагаться на математические доказательства, содержащие обращения к бесконечности? Многие склонны отвечать на последний вопрос отрицательно, и делают все, чтобы не подпустить бесконечность на расстояние ближе вытянутой руки.

Если мы вернемся к начальным временам счета, когда бы они ни были, мы обнаружим глубокий резонанс с тем, что принимается в качестве счета сегодня (тема, которую мы исследуем позже). Счету в большой мере помогают счетные приспособления, такие как насечки на палочках, бусины четок, сотня бусинок мусульманских субха, используемых для повторения девяноста девяти атрибутов Аллаха (с одной дополнительной бусиной, отмечающей начало счета), шарики сухого навоза и столбики голышей (по латыни calculi, откуда произошло слово «калькуляция»). Универсальным портативным счетным прибором является человеческое тело с его различными выемками и выпуклостями. Островитяне Торресова пролива достигли в счете по телу 33 (мизинец правой ноги), проходя по пути 8 (правое плечо), 26 (правое бедро) и 28 (правая лодыжка), и установили для своего счета основание 33.

Человеческая рука, однако, гораздо более удобный инструмент счета, особенно когда человек полностью одет. Более того, рука обладает гибкостью и способна демонстрировать как количественные, так и порядковые числа: количественные числа показывают, выставляя соответствующее число пальцев одновременно, а порядковые числа демонстрируют, последовательно разгибая пальцы. Таким образом, счет «с основанием 10», как называют нашу общепринятую систему, является естественным следствием анатомии человека.

Хотя фундамент счета постепенно установился на основании 10, используемом сегодня почти всюду, были и остаются некоторые, отклонения. В языке апи, на котором говорят жители Новых Гебрид, счет ведется по основанию 5, и следы того же основания можно отыскать в некоторых языках Африки. Отголоски счета по основанию 12 обнаруживаются в употреблении нами дюжины. Вавилоняне предпочитали основание 60 по причинам, которые все еще остаются темными, и их выбор удержался в нашем способе деления времени и круга, с малыми «минутами» и вторичным (second) делением этих минут на секунды. Существует предположение, что шумеры Вавилона остановились на 60 (но без символа 0) в результате слияния двух культур, одна из которых использовала основание 10 (с простыми делителями 2 и 5), а другая основание 12 (с простыми делителями 2 и 3), с наименьшим общим произведением делителей (2?5) ? (2?3) = 60. Основание 60 так никогда и не привилось в повседневном счете, поскольку требовалось выучить очень большое число обозначений для 60 различных чисел, необходимое для схемы (0, 1, …, 8, 9, ?, ”